在微积分的学习过程中，求函数的导数是一个非常基础但又非常重要的内容。今天我们要讨论的是一个常见的函数：xsinx，并详细讲解它的导数是怎么计算的。
一、什么是xsinx？
xsinx 是由两个基本函数组成的乘积函数，分别是 x 和 sinx。也就是说，这个函数可以看作是两个函数的乘积：
$$
f(x) = x \cdot \sin x
$$
为了求这个函数的导数，我们需要使用到乘积法则（Product Rule）。
二、乘积法则是什么？
乘积法则是微积分中用于求两个函数乘积的导数的规则。其公式如下：
如果函数 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，那么它的导数为：
$$
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
$$
换句话说，就是“第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数”。
三、应用乘积法则到xsinx
我们设：
- $ u(x) = x $
- $ v(x) = \sin x $
接下来分别求它们的导数：
- $ u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1 $
- $ v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $
代入乘积法则的公式中：
$$
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x
$$
所以，
$$
f'(x) = \sin x + x \cos x
$$
四、总结一下
通过使用乘积法则，我们得出：
$$
\frac{d}{dx}(x \sin x) = \sin x + x \cos x
$$
这个结果意味着，当对 $ x \sin x $ 求导时，得到的是一个包含正弦和余弦的表达式，这在很多物理和工程问题中都有广泛的应用。
五、拓展思考
如果你对导数还有兴趣，可以尝试推导类似形式的函数，例如：
- $ x \cos x $
- $ x^2 \sin x $
- $ e^x \sin x $
这些都可以用乘积法则来解决，帮助你更深入地理解导数的计算方法。
六、小结
- xsinx 的导数可以通过乘积法则进行计算。
- 计算过程为：$ \frac{d}{dx}(x \sin x) = \sin x + x \cos x $
- 理解乘积法则有助于解决更多复杂的导数问题。
如果你在学习过程中遇到其他函数的导数问题，也可以继续提问，我会为你详细解答！
