【整除的定义】在数学中，整除是一个基础而重要的概念，广泛应用于数论、代数以及实际问题的解决中。理解整除的定义和性质，有助于我们更好地掌握数与数之间的关系，为后续学习打下坚实的基础。
一、整除的定义
若存在一个整数 $ a $ 和一个非零整数 $ b $，使得存在另一个整数 $ q $，满足：
$$
a = b \times q
$$
则称 $ a $ 能被 $ b $ 整除，或称 $ b $ 整除 $ a $，记作 $ b \mid a $。
其中，$ a $ 称为被除数，$ b $ 称为除数，$ q $ 称为商。
> 注意：整除中的除数不能为零，因为零不能作为除数。
二、整除的基本性质
1. 自反性：任何整数 $ a $ 都能被它本身整除，即 $ a \mid a $。
2. 传递性：如果 $ a \mid b $ 且 $ b \mid c $，则 $ a \mid c $。
3. 对称性：若 $ a \mid b $，则 $ -a \mid b $，反之亦然。
4. 加减性：若 $ a \mid b $ 且 $ a \mid c $，则 $ a \mid (b \pm c) $。
5. 乘法性：若 $ a \mid b $，则 $ a \mid (b \times k) $，其中 $ k $ 为任意整数。
三、整除的判断方法（常见规则）
| 数字 | 判断规则 |
| 2 | 末位是偶数（0, 2, 4, 6, 8） |
| 3 | 各位数字之和能被3整除 |
| 4 | 最后两位组成的数能被4整除 |
| 5 | 末位是0或5 |
| 6 | 同时能被2和3整除 |
| 8 | 最后三位组成的数能被8整除 |
| 9 | 各位数字之和能被9整除 |
| 10 | 末位是0 |
四、整除与余数的关系
当 $ a $ 不能被 $ b $ 整除时，我们可以写成：
$$
a = b \times q + r
$$
其中，$ r $ 是余数，满足 $ 0 \leq r < b $。
这种形式称为带余除法，是整除概念的扩展。
五、总结
整除是数学中描述两个整数之间关系的一种方式，核心在于是否存在一个整数商使等式成立。掌握整除的定义及其性质，不仅有助于理解数的结构，还能提升计算效率和逻辑推理能力。在实际应用中，如编程、密码学、数据处理等领域，整除也扮演着重要角色。
| 概念 | 定义 |
| 整除 | 若存在整数 $ q $，使得 $ a = b \times q $，则称 $ b \mid a $ |
| 余数 | 当 $ a \neq b \times q $ 时，$ a = b \times q + r $，其中 $ 0 \leq r < b $ |
| 除数 | 用于整除的数 $ b $，不能为0 |
| 商 | 使得 $ a = b \times q $ 的整数 $ q $ |
